Как филологи любят слово, так и математики – числа и формулы. Они видят красоту, которую другие не видят буквально. Абстрактное мышление таких ученых напряжено до предела! У математиков – свои языки, с помощью которых они описывают явления других наук – физики, химии и т.д. Светлана Александровна Шахова, к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и математической логики АлтГУ, рассказала о загадках квазимногообразий и защите данных.
Иксы, пиковые дамы…
– Рассказать интересно о том, чем он занимается, может тот человек, который очень сильно в это погружен и относится к этому эмоционально. Даже когда мы изучаем математические формулы, испытываем эмоции и немного эти формулы одушевляем через присвоение неформальных названий и создание личных ассоциаций, – рассуждает Светлана Александровна. – Иногда ученый формирует какой-то свой язык и обороты. Он говорит одну фразу – и сколько же в ней заключено! Я часто бываю на конференциях, где выступают умные, погруженные в науку люди. И всякий раз убеждаюсь в том, что эмоции – это мост между оратором и аудиторией. Без этого моста даже самая логичная и структурированная речь останется просто набором слов.
У Светланы Александровны только что кончилась лекция по дискретной математике, на доске – формулы и расчеты. Как выяснилось, второкурсники изучали комбинаторику и вместе с преподавательницей считали, сколькими способами можно выбрать 10 карт из стандартной колоды в 52 карты так, чтобы среди них обязательно была пиковая дама. Оказалось, эти второкурсники – группы программистов 4.501-1 и 4.501-2 и почти все в аудитории – юноши. В двух группах 52 человека, и лишь 8 из них – девушки. «А раньше было наоборот, – замечает Светлана Александровна». АлтГУ для нее – alma mater, и на родном матфаке в 80-х главенствовали девушки – численно их было больше, чем молодых людей.
Математикой Светлана Александровна увлеклась благодаря школьным урокам. Ее мама работала бухгалтером и часто поглядывала в тетрадки дочери, восхищалась: «Надо же! Вы уже с иксами работаете, уравнения решаете». «Я думала: и правда, у меня хорошо получается – буду математиком!» В 8-м классе Светлана участвовала в олимпиаде по любимому предмету и в итоге была приглашена на учебу в физматкласс при АлтГУ в школу-интернат № 3, где ее преподавателями математики стали Валентина Дмитриевна Лашкеева и Людмила Алексеевна Лагутина. По окончании школы – поступила на математический факультет, затем в аспирантуру к научному руководителю Александру Ивановичу Будкину. После защиты кандидатской диссертации Светлана Александровна начинает работать в АлтГТУ им. И. И. Ползунова, а в 2009-м возвращается к истокам, в АлтГУ, и с тех пор работает на кафедре алгебры и математической логики.
– Я была максималисткой, когда начинала преподавать, – вспоминает Светлана Шахова. – Мне казалось, что вот я сейчас как начну учить студентов и как они начнут все сразу же изучать… Я пыталась сделать все возможное, чтобы они учили все. Но потом поняла: каждый берет то, что ему нужно. В чем моя задача? Наверное, быть проводником – тем, кто поможет понять, объяснит. До сих пор не очень нравится принуждать, но иногда приходится. С первым курсом, когда он только приходит, изучаем математический словарик – новых терминов много, и если упустить их, то нить рассуждений потеряется. Например, на самой первой лекции по алгебре мы в легкой и доступной форме знакомим студентов с новым для них понятием – группой. А потом прилагаем на порядок больше усилий, пытаясь добиться, чтобы студенты выучили определение и свойства группы.
Группы и квазимногообразия
Светлана Александровна уверена: человек, вникший в теорию, способен на создание чего-то нового, а не просто на повторение. Ее диссертация посвящена квазимногообразиям групп:
– Группа – фундаментальное понятие в математике, которое помогает находить общие закономерности в самых разных объектах: от чисел и симметрии кристаллов до решения уравнений. Вполне доступное понятие. С этим понятием, как уже было отмечено, студенты ИМИТ знакомятся на самой первой лекции по алгебре. Объясню: группа – это не просто множество элементов (чисел, фигур, матриц), а это всегда множество плюс операция, и все вместе это должно удовлетворять трем правилам: закону ассоциативности, закону существования нейтрального элемента и закону сокращения. При этом операция в группе – необязательно только сложение, вычитание, деление или умножение чисел. Это может и быть поворот геометрической фигуры, композиция функций и так далее, главное, чтобы указанные правила выполнялись. Классический пример группы – целые числа с операцией сложения.
В теории групп существует естественное стремление к классификации: мы хотим понять, как устроены группы, объединяя их в классы по общим свойствам. Самые известные и хорошо изученные классы – многообразия групп. Многообразие – это класс всех групп, удовлетворяющих некоторому набору тождеств (уравнений, верных для всех элементов). Например, класс абелевых групп задается тождеством xy = yx, то есть в любой абелевой группе результат произведения элементов не зависит от порядка сомножителей. Например, целые числа с операцией сложения образуют абелеву группу.
Однако мир групп гораздо богаче. Существуют важные классы, которые не могут быть описаны одними лишь тождествами. Здесь на сцену выходит более гибкое и мощное понятие – квазимногообразие. Квазимногообразие групп – это класс групп, который можно задать с помощью квазитождеств. И если квазимногообразие можно задать конечным набором квазитождеств, оно называется «конечно базируемое». Классическая задача – выяснить, является ли данное квазимногообразие конечно базируемым. Легко установить, например, что квазимногообразие групп без кручения (то есть без получения единицы группы при многократном умножении элемента группы самого на себя) не является конечно базируемым. Однако часто эта задача чрезвычайно сложна.
Совокупность всех квазимногообразий групп образует решетку. Изучение этой решетки – это, по сути, изучение всей структуры мира групп с точки зрения их свойств. Эта решетка имеет сложное, богатое строение. Ее описание – ещё одна из задач теории квазимногообразий групп. Изучение квазимногообразий связывает воедино методы универсальной алгебры, математической логики (теории моделей) и комбинаторной теории групп. Можно сказать, что это язык, который позволяет математикам описывать огромный пласт групповой реальности, лежащий между диктатом тождеств и хаосом произвольных классов.
Вселенная вариантов
Кто-то может задаться вопросом, для чего же изучать такие абстрактные вещи? А ведь порой они «выстреливают», и в них появляется прикладная потребность! Например, криптография, которая используется для защиты данных, с ее математическими основами. Совершая покупки онлайн или отправляя сообщение в мессенджере, мы не задумываемся, что нас защищает невидимый щит – криптография. Можно сказать, что криптография является фундаментом современной цифровой жизни. Она способна обеспечить конфиденциальность наших личных переписок, безопасность банковских транзакций и подлинность информационных ресурсов. Без нее не было бы ни интернет-коммерции, ни удаленной работы, ни защищенного обмена данными. Осознавая критическую роль криптографии, ведущие вузы мира активно развивают программы по подготовке криптографов. Это одна из самых востребованных и высокооплачиваемых IT-специальностей. Студенты ИМИТ, изучая криптографию, в первую очередь знакомятся с математикой «невидимого щита». Криптографию можно представить как неприступную крепость, стены которой сложены из математических задач огромной сложности. В основе современных криптографических алгоритмов лежат проблемы, которые легко поставить, но практически невозможно разрешить за разумное время даже с помощью суперкомпьютеров.
На чем же держится криптография? Вот три ключевых столпа. Во-первых, теория чисел и простые числа. Криптография с открытым ключом (как в RSA) использует тот факт, что легко перемножить два огромных простых числа (скажем, 500-значных), но невероятно трудно, имея результат их умножения, разложить его обратно на эти два множителя. Эта задача называется «факторизацией больших чисел». Во-вторых, теория эллиптических кривых (ECC). Более современный и эффективный подход. Здесь ключи создаются на основе операций над точками специальной кривой. Легко провести вычисление в одну сторону, но практически невозможно сделать обратное: решить «задачу дискретного логарифмирования» для эллиптических кривых. Это основа для безопасных соединений в мессенджерах и браузерах. В-третьих, булева алгебра и теория сложности. В симметричных шифрах (как AES, который защищает ваши Wi-Fi-соединения) вся мощь скрыта в последовательностях замен и перестановок битов (единиц и нулей). Их стойкость определяется сложностью обращения этих преобразований без знания ключа, что упирается в перебор астрономического количества вариантов.
Таким образом, криптография превращает для несанкционированных пользователей процесс расшифровки информации в решение невероятно сложной математической головоломки. И только тот, у кого есть ответ (секретный ключ), может легко ее решить. В этом и заключается гениальность – защищать информацию с помощью чистой математики!
Анна ЗАГОРУЙКО
Фото Дмитрия ГЕРАЙКИНА
